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Standard-Funktionen

 

1)f(xy)=f(x)+f(y) => f(x)=f'(1)ln abs(x) (wenn f(x) differenzierbar!)

  Wenn f(x) fuer x=0 definiert ist, dann ist f(x)=0

2)f(x+y)=f(x)+f(y) => f(x)=cx  fuer alle x \el\ \IQ

  Wenn kontinuirlich, monoton steigend oder begrenzt fuer alle x

3)f(x+y)=f(x)f(y) => f(x)=exp(cx) (\forall\  a, f(a)!=0)

  Wenn f(a)=0 fuer ein a gilt, dann ist f(x)=0

4)f(xy)=f(x)f(y) => f(x)=x^c, f(x)=0

5)f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2 => f(x)=cx+a

 

Allgemeines Vorgehen:

Setze x=+-y, +-1, 0, +-f(y), +-f(0), +-a oder +-f(a), wenn f(a)=0

Untersuche ob f(-x)=f(x) oder -f(x)

Untersuche ob f(tx)=t^n f(x)

 

Tips:

1)

Sachen wie z.B. f(2x)=2f(x) oder f(2x)=4f(x).

Versuche per Induktion zu zeigen, dass f(nx)=nf(x) bzw. =n^2f(x)

2)

Sachen wie z.B. f(nx)=nf(x) oder f(nx)=n^2f(x) fuer x \el\ \IZ

Setze x=m/n <=> nx=m*1 => f(nx)=f(m*1) <=> nf(x)=mf(1) => f(x)=(m/n)f(1)=xf(1)

3)

Sachen wie z.B. f^2(x)=f(x+y)f(x-y). Multiplikation von Funktionen

Logarithmus anwenden. g(x)=ln(f(x)) => 2g(x)=g(x+y)+g(x-y)

4)

Sachen wie z.B. f(xy)=f(x)+f(y). Multiplikation in Funktionswerten.

Setze x=exp(u). =>f(exp(u+v))=f(exp(u))+f(exp(v))

g(u)=f(exp(u)) => g(u+v)=g(u)+g(v)

 

 

Zahlentheorie

Der ggT(a,b) kann dargestellt werden als ggt(a,b)=ax+by mit x,y \el\ \IZ

Spezialfall: a,b koprim => ax+by=1 hatte ganzzahlige Loesungen

 

ggT(a,b)*kgV(a,b)=ab

n!+2, n!+3,...,n!+n sind (n-1) aufeinanderfolgende, zusammengesetzte, ganze Zahlen

Alle Primzahlen > 3 haben die Form 6n+-1

Alle paarweise primen Tripel ganzer Zahlen mit x^2+y^2=z^2 sind gegeben durch:

x=abs(u^2-v^2), y=2uv, z=u^2+v^2  ggT(u,v)=1, u!=v mod 2

a==b mod m <=> m|a-b <=> a-b=qm <=> a=b+qm

a==b mod m \and\ c==d mod m => a+-c==b+-d mod m \and\ ac==bd mod m

=> a^k==b^k mod m \and\ f(a)==f(b) mod m, f(x)=(a_n)x^n+(a_(n-1))x^(n-1)+...(a_1)x+a_0

 

Teilbarkeitsregel: ggT(c,m)=1 \and\ ca==cb mod m => a==b mod m

Fermat's kleiner Satz:

a \el\ \IZ, p \el\ \IP => a^p==a mod p

Wenn ggT(a,p)=1 => a^(p-1)==1 mod p

 

Fermat-Euler-Satz:

\phi2(m)=Anzahl der Zahlen von {1,2,...,m}, welche prim zu m sind

ggT(a,m)=1 => a^\phi2(m)==1 mod m

 

Gausklammern bzw. floor:

n \el\ \IZ, x \el\ \IR, n<=x<n+1 => floor(x)=

floor(x+y)>=floor(x)+floor(y)

m,n \el\ \IZ => floor((x+m)/n)=floor((floor(x)+m)/n)

Spezialfall: floor(floor(x)/n)=floor(x/n)

floor(x+1/2)= "runden"

 

Die Primzahl p teilt n! mit multiplizitaet x

x=floor(n/p)+floor(n/p^2)+floor(n/p^3)+...

 

Nuetzliche Faktorisierungen:

a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)*b+\cdots+b^(n-1))

a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)*b+\cdots+b^(n-1))

 

Identitaet von Sophie Germain:

a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)-(2ab)^2=

(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)

 

Unendlicher Abstieg

Bsp: a^2=ab+b^2

Leicht laesst sich zeigen, dass a und b gerade sein muessen.

Also: a=2a_1, b=2b_1 =>

20.4.07 12:20

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